ブラウザー・端末によって、パスワード間違いのとき再度認証画面が出ないことがありそうです。このため、コードを以下のように直して頂けると幸いです。

<?php
global $wpja_site_pass;
$wpja_site_pass = array(
  'user_1' => 'pass_1',
  'user_2' => 'pass_2',
);

function wpja_force_basic_auth() {
  if (! defined('WP_USE_THEMES')) {
    return;
  }
  global $wpja_site_pass;
  if (isset($_SERVER['PHP_AUTH_USER']) && array_key_exists($_SERVER['PHP_AUTH_USER'], $wpja_site_pass) && strcmp($wpja_site_pass[$_SERVER['PHP_AUTH_USER']], $_SERVER['PHP_AUTH_PW']) === 0) {
    return;
} else {
    header('WWW-Authenticate: Basic realm="Please Enter Site Password"');
    header('HTTP/1.0 401 Unauthorized');
    if (! isset($_SERVER['PHP_AUTH_USER'])) {
        echo "Authorization Required";
    } else {
        echo "Bad Password";
    }
    exit;
  }
}
add_action('init', 'wpja_force_basic_auth');
?>