「メディアを追加」の名称を変更できますか？

私は下記で書き換えします。(他にも方法はありますが)

add_action( 'gettext', 'media_to_file', 20);
add_action( 'ngettext', 'media_to_file', 20);
add_action( 'gettext_with_context', 'media_to_file', 20);
add_action( 'ngettext_with_context', 'media_to_file', 20);
function media_to_file($translated_text) {
    return mb_ereg_replace('メディア','添付ファイル',$translated_text);
}

必要なら mb_regex_encoding(‘UTF-8’); も追加してください。(サーバーの設定による。分からなければサーバー会社に確認してください。)

※ 当方はプラグイン「Admin Menu Editor」は使っていないので、もしかしたらプラグインとコンフリクトするかもしれません。

テーマの functions.php に書けば動きます。

BizVeckorというテーマを使っていることが関係しているのでしょうか？

まずは公式テーマで試しましょう。