カスタムフィールドで作成したチェックボックスにチェックがついた投稿

横から失礼します。

こちらはカスタムフィールドに関するプラグイン（custom post type uiなど）で
カスタム分類を作成すると良い、という解釈で大丈夫でしょうか？

についてはその通りだと思います。
「チェックした記事だけ別にする」というのをどのように表示するかによるのですが

1. 「解決済み」だけの一覧を表示
2. 「解決済み」以外の一覧を表示
3. 全ての記事を表示

の場合ですとpermalinkの設定にもよりますが
カスタム分類を「solve」、「解決済み」を「solved」、「未解決」を「unsolve」
とした場合
1はexample.com/solve/solved
2はexample.com/solve/unsolve
3はexample.com/solve
となります。
2が必要でなければ作らなければいいだけになります。
3についてはpost_typeのアーカイブでも問題ありませんが
urlの統一感からタクソノミーアーカイブのほうがいいかと

また、jim912さんの作成されたプラグイン
ps taxonomy expander
であればデフォルトを「未解決」にできたり、「解決」「未解決」両方に
チェックが入らないようラジオボタンにするということもできるのでオススメです。

arrayだけの表示について、「配列で取得している」
ということですが、
こちらは、どのような対策が必要となるのでしょうか？
プラグイン自体をいじるのか、functions.phpへの書き込みか、
などの検討がつかなかったです・・

こちらですが表示するものが配列やオブジェクトの場合はそのままでは表示されません
implodeというphpの関数を使用したり
foreachで処理したりする必要があります。
ただ、advanced custom fieldではget_fieldやthe_fieldの場合は
それなりに処理された状態で表示された気がします
中身が入っていないために表示されないのであればifで括ってやればいいかもしれません
if(get_field('fieldname'))the_field('fieldname');