nav_menu_item_title
というフィルターフックがありまして、それを使えば出来ます。ちょっと大変ですが。
ただこのフックをそのまま使うと、全てのナビゲーションに対して適用されてしまうので、メニューが複数ある場合は、フックに、wp_nav_menu の パラメーターが渡されるので、それをうまくつかうと良いかもです。
ご回答ありがとうございます。
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少し調べてみましたが、まだまだ知識不足で難しかったので、現時点ではカスタムメニューを使わずに実装しました。
ヒントをいただきありがとうございました。