サイトアドレスの変更でREST API が404になる

サイトアドレスを example.com/
インストールフォルダを example.com/wp/
にすると、REST APIが404になってしまいます（wp-json にアクセスできない）

（↓サイトヘルスのエラー表示）
REST API のテスト時に、予期しない結果が返されました:
REST API エンドポイント: http://example.com/wp-json/wp/v2/types/post?context=edit
REST API レスポンス: (404) Not Found

環境は wp6.1xと6.22、デフォルトテーマでテスト中ですが、他のテーマでも同じ状況です。
参考情報を調べて設定もいじってみましたが、全プラグインを無効にしたりパーマリンク設定の変更では解決しませんでした。
最初は問題なくて途中からエラーが出始めるので、サーバ（さくらのレンタルサーバ、ロリポップ）にも問題はなさそうで、XAMPPのローカル環境でも同じ現象が起こります。

エラーが出たきっかけは「Real Media Library」というプラグイン（無料版）で、何かの折りに突然エラーが出て使えなくなり、次のような説明ページが案内されましたが（自動翻訳で読みましたが）、APIの知識がなくて解決できません。

「REST APIに到達できない（404）」状態であることは分かりましたが、具体的にどうすれば「エンドポイントを登録」できるのか？ など対処方法がさっぱり分かりません。

WordPress REST API does not respond: What’s the problem?
https://devowl.io/knowledge-base/wordpress-rest-api-does-not-respond/

その後、このプラグインを削除してもサイトヘルスのエラーは残り、再インストールしてもエラーが出たまま。
新規に別サイトを構築し直しても、最初は普通に動いていても途中から同じ結果になる、という繰り返しです。

そのうちようやく、サイトアドレスをインストールフォルダと同じ /wp/ にするとエラーが消えることが分かりました。この状態だと http://example.com/wp-json/ にアクセスできることも確認しました。

しかしインストールフォルダを下層に置くことと、「Real Media Library」（購入予定）も必須の状況です。
どなたか解決方法をご教示いただけないでしょうか？