サブメニューが属するメニュー名を取得したい

階層構造のメニューという考え方から外れて、移動した先のページでメニューを条件分岐させるということで出来るでしょう。

is_front_page()でフロントページでのみ、「Vintage LPs」を表示させてみました。

フロントページ以外では『ショップ』と入れ替わります。

http://store.amadeusclassics.com/classical/product-category/vintage-vinyl/

@msio さん、管理画面の 外観 > メニュー で作ったナビゲーションメニューの場合、固定ページではない外部URLなどもメニューには入れられますよね。
そのため、親メニュー項目は固定ページの親ページ（投稿オブジェクトの post_parent）ではありません。
wp_get_nav_menu_items() で取得できるメニュー項目オブジェクトの menu_item_parent が親メニュー項目(の ID)です。

もう解決されたでしょうか。
他の方々がご指摘されているとおり、私の完全な間違いであり恥の上塗りではありますが他の方々がご紹介されている内容についていまさら同じことの繰り返しになりますが表記させていただきます。
なにとどご容赦いただけると幸いです。

<?php
//抽出パラメータ
//逆順で一番上の親が先頭
$param = array(
        'order'                  => 'DESC',
        'orderby'                => 'menu_order',
        'post_type'              => 'nav_menu_item',
        'post_status'            => 'publish',
        'output'                 => ARRAY_A,
        'output_key'             => 'menu_order',
        'nopaging'               => true,
        'update_post_term_cache' => false );
//親ノードストリーム取得
$famtree = wp_get_nav_menu_items( 'sample_menu', $param );
//一番目のアイテムが総本家なのでリンク作成
$parent_text = "<a href=\"".$famtree[0]->url."\">".$famtree[0]->title."</a>";
//作成したリンクを表示
echo $parent_text;
//パンくず変数
$breadtrail = "";
//末端まで循環
foreach($famtree as $value_fam){
	//変数に既値あればセパレータ追加
	if(strlen($breadtrail)>0){ $breadtrail .= " > "; }
	//リンクを追加
	$breadtrail .= "<a href=\"".$value_fam->url."\">".$value_fam->title."</a>";
}
//親たちのリンクに自分の名前を任意で追加し表示
//get_title でいいと思いますが
echo $breadtrail." > and me";
?>

• この返信は7年、 6ヶ月前にmsioが編集しました。理由: コードの記述（リンク）埋め込みがタグ変化していたのであらためて再投

十重二十重ご迷惑をおかけし申し訳ございません。
menu　がメニュー単位で sample_menu に検索対象メニュータイトルを入れていただければ
調査が可能、０番目がトップレベルだとおもっていたのですが
menu は作成されたメニューのトップレベルで複数あるということですよね。

自分の属する、を探すのであればin_arrayで自身を配列から検索し
含まれていればその階層の最上位を取得する、という動作が望ましいということでしょうか。

メニュータイトル＞customized_menu—内↓
menu1 top level
│
├SUB1
└SUB2

menu2 top level ←　これを取得したい
│
├SUB1
└SUB2 Current★
メニュータイトル＞customized_menu—迄↑

ちょっと私の実力では力及ばずというところだと思いますがなにかできることがありましたら頑張りたいと思います。

なにもかも良い結果に至らず大変申し訳ございませんでした。
最後に呈しました構造の要件を満たすと思われる例を掲示いたします。
今回は作業のお邪魔ばかりしてしまいましたがいずれなにかのお力になれますよう努力いたします。

<?php
//抽出パラメータ
$param = array(
        'order'                  => 'DESC',
        'post_status'            => 'publish',
        'nopaging'               => true,
        'update_post_term_cache' => false );
//親ノードストリーム取得
//customized_menu = 作成メニュー名サンプル
$famtree = wp_get_nav_menu_items('customized_menu', $param );
//自ノード格納変数　配列型
//変数は宣言しておくのがセオリーですが
//自ノード確定できなかったときに中断する要素にするため
//宣言せず抽出されたときにフラグを兼ねるため宣言せず
//$MyObject = array();
//抽出されたメニューデータを循環
foreach($famtree as $value_fam){
	//自分のIDとメニューのIDが合致すれば確保
	if($value_fam->object_id==get_the_ID()){
		//自ノードの確定
		$MyObject = array(
						"title" => $value_fam->title,
						"url" =>  $value_fam->url,
						"object_id" =>  $value_fam->object_id,
						"db_id" =>  $value_fam->db_id,
						"parent" =>  $value_fam->menu_item_parent,
						);
		//自ノード確保循環終了
		break;
	}
}
//自ノードが確保されていたら（メニューの要素だったとき）
if($MyObject){
//親ノードを持たなくなるまで円環
do{
	//懲りずにメニュー要素を循環
	foreach($famtree as $value_fam){
		//親ノードを発見したら
		if($value_fam->db_id==$MyObject["parent"]){
			//親ノードを自ノードとして確定 自己吸収
			$MyObject = array(
							"title" => $value_fam->title,
							"url" =>  $value_fam->url,
							"object_id" =>  $value_fam->object_id,
							"db_id" =>  $value_fam->db_id,
							"parent" =>  $value_fam->menu_item_parent,
							"child" => $MyObject,
							);
		}
	}
}while($MyObject["parent"]>0);
//自称「自ノード」が完了するまでループ
//自ノードを食ってのぼり配列の先頭が総本家です
//総本家からchild要素がなくなるまで参照すると
//末端までパンくずができます。
}
//変数の状況をテスト出力
var_dump($MyObject);
?>

大変申し訳ございません。
私の力量不足のせいで、それはなんとするもかなわない事項です。

誠に身勝手な申し出なのですが、経路の異なる到着点を同列に配置する方向で機能をつけるならば
ページ遷移を記録して元を表示するような機能のほうが理想的かと思います。
親ページでタイトルを取得し、その情報を子経路内では維持・表示するというほうがよいと思うのです。

なぜならば、そのページを経路なしに読み出した場合と経路をたどって読み出す場合の可能性は
半々として、二個の経路があるとするなら、実質的に親子関係の意味をなさない状況が半分あるということに
ならないでしょうか。

二つのメニューがあって、半分が機能しない状況が想定されるということは、一つでよいのではないでしょうか。

小説の分岐のように、経路によって同じ項目を踏む、経路が別という局面も想定されるかと思うのですが
小説も読み進める視点単位は１つで、２経路同時に進行はせず、二冊を同時によみすすめて同じページに至る
ことがないように、必要性についてすこし疑問に思うところがあります。

データの形質についてばかり重視する話で辟易とされるかと思うのですが、ワードプレスは構造効率化が非常によいと思って
おりますので、お時間のある際にご参考いただけると幸いです。