スマホ・モバイルでのテーマ自動変更

プラグインの設定内容が間違っているかどうかは、実際の設定内容を見てみないと判断できませんので、設定は問題ないと仮定して話を進めます。
テーマが原因の可能性もありますし、プラグインとの相性の場合もあると思います。例えばキャッシュ系のプラグインを使用していて、スマートフォンビューの状態でキャッシュされてしまっているなど。

一旦テーマをTwenty Nineteenなどデフォルトのものに設定し、Multi Device Switcher以外のすべてのプラグインも停止してみて、それでもこの問題が発生するのか確認するのが有効です。（「問題解決のためのチェックリスト」を参考にしてください）

そのうえで、もしテーマが原因だった場合ですが、外注で制作してもらったものということなのでこのフォーラムでどこまでサポートできるのか少々むずかしいところです。まずは制作元にも問い合わせてみることをおすすめします。

また、サーバ側でもなにかページをキャッシュするような機能を使っていないか念のため確認してみてください。