こんにちは

安定したバージョン

という意味では、

WordPress 3.0　⇒ 5.4.1
PHP 5.2.17 ⇒ PHP 7.3 もしくは 7.4

にするのがいいと思いますが、これほどのメジャーアップデートをした上でサイトを安定動作させるのは簡単ではなのではと思います。
理由は、お使いのテーマとプラグインが新しい WordPress と PHP のバージョンに対応しておらず、エラーが発生して画面が真っ白になってしまうと想像されます。

どのような手順でバージョンアップしていけばいいのか悩ましいですが、とりあえずサブドメインなどの別の環境に本番環境からサイトをコピーし、そこでアップデート作業をすることをお勧めします。

本番環境の切替については、そのアップデートを完了したコピー環境を本番環境に再度コピーして切り替えるのか、コピー環境で行った作業を再度本番環境に対して行うのかはケースバイケースのように思いますが、今回はバージョンアップのジャンプアップが大きいので丸ごと戻した方がいいように思います。
再度作業を行うには作業量が大きいように思われるからです。

具体的なアップデート作業についてはいろいろな選択肢があるかもしれませんが、コピー環境で

1. 一旦デフォルトテーマ(TwentyTen)に設定
2. プラグインを全て停止
3. WordPress 5.4.1 のときにデフォルトテーマとなる TwentyTwenty をダウンロードして解凍し、テーマフォルダにアップロードしておく
4. PHP を 5.4.1 に変更する
5. WordPress 5.4.1 をダウンロードして解凍し、上書きアップロードする
6. TwentyTwenty が選択されている状態にするため、テーマディレクトリから twentyten を削除する
7. ダッシュボードにログインする（データベースのアップデートを確認されると思いますので実行する）
8. TwentyTwenty でエラーなく表示されることを確認する

ここからはちょっと何が起こるか分からないのですが、子テーマを使用しているのであれば 親テーマを最新のものにアップデートします。
しかしこれは、テーマが PHP 7 や WordPress 5.4.1 に対応していなければそもそもそのテーマは使えない可能性があります。
また、子テーマに書かれているプログラムも PHP 7 や WordPress 5.4.1 に対応していなければ、それを修正する必要があります。
子テーマを利用していない場合もコードの修正が必要なのは同様です。
対応しているかどうかは、一旦選択している TwentyTwenty から本番で選択しているテーマにしてみて、うまく動けば OK という判断しかありません。

また、同様にプラグインのアップデートが必要です。
プラグイン の最新版が WordPress 5.x に対応していれば概ね問題ないのかなと思います。
最終的には　アップデートしてみてエラーにならないか、思い通りに動作するかを確認するしかありません。
うまく動かないのであれば代替のプラグインを探すか、その機能の利用をあきらめる必要があると思います。

とても長々と書きましたが、テーマのカスタマイズ加減やプラグインの利用状況によっては、私自身がこの作業をしても最終的にどうなるのか、保証できない感じがします。

小刻みなアップデートも可能ですし、手間が増えそうですがメリットもあります。

全て最新にしてどうしても動かない場合、途中のバージョンにして戻して運用することができます。
（途中のバージョンのバックアップを取っていればですが）

なお、PHP にバージョン 6 は存在しません。