ケースバイケースでしょう
と、判断材料が無くて、それ以上具体的な導きがし難いです。
wordpressにおける設定（プラグインも含め）のブログ名を変更したけど変わらない、反映されないとしか、私も伝える事ができなくて。。。。
Googleマスターツールでチェックするのが良いかと思います。
Googleでの検索結果が変わらないという問題であれば、以下をお試しください。
ウェブサイト用 Fetch as Google を使用する – Search Console ヘルプ : https://support.google.com/webmasters/answer/6066468?hl=ja
ただこの問題に関しましてはGoogle側の仕様などに関わる問題ですので、詳細なサポートについてはGoogle グループ : https://productforums.google.com/forum/#!forum/webmaster-jaを利用されることをお勧めします。
サイト表示が変わらないということであれば、キャッシュ系プラグインの可能性が考えられます。
