プラグインをインストールできなくなってしまいました。

タイトルが
「プラグインをインストールできなくなってしまいました。」
ということは以前はできていたのですか？それとももともとですか？
まずはそこをはっきりさせた方が良いと思います。

それと、話がそれますが、管理ページからの自動インストールを行っているのだと思うのですが、できればそのやり方からは卒業して、ftpにてアップロードする方法にしたほうがなにかと都合が良いかと思います。

基本的な対処は行っていますか？
・プラグインをすべてとめる。
・テーマをデフォルトに戻す。　など

以前はこの方法でインストールできていました。

これが事実だとすると、ご自身が何を行った後からできなくなったか確認するほうが早そうです。
・WordPressをアップデートした。
・サーバーの設定を変更した。
・逆に、サーバー側で設定が変更された（phpやMysqlのアップデートが行われたなど）
・プラグインをインストールした、テーマを変更したまたは修正した。
何かを行った後に問題が発生しているとすれば原因の追究もやりやすくなるでしょう。