プロフィール更新時に「ブログ上の表示名」を自動設定する方法

ユーザー登録時とプロフィール更新時に
「ニックネーム」を「ブログ上の表示名」に
自動設定したいと考えております。

ユーザー登録時に「ブログ上の表示名」を自動設定するのは
以下を追加することでできました。

function user_register_set_display_name( $user_id ) {
  if ( !empty( $_POST['nickname'] ) ) {
    $nickname = $_POST['nickname'];
    $args = array(
      'ID' => $user_id,
      'display_name' => $nickname
    );
    wp_update_user( $args );
  }
}
add_action('user_register', 'user_register_set_display_name');

プロフィール更新時も同じように以下を追加してみたのですが、
プロフィールを更新すると読み込みに時間がかかり
画面が真っ白になってしまうようになりました。

function user_update_set_display_name( $user_id ) {
  if ( !empty( $_POST['nickname'] ) ) {
    $nickname = $_POST['nickname'];
    $args = array(
      'ID' => $user_id,
      'display_name' => $nickname
    );
    wp_update_user( $args );
  }
}
add_action( 'profile_update', 'user_update_set_display_name', 10, 2 );

管理画面にアクセスし直すと、「ブログ上の表示名」は
変更したニックネームに設定されているのですが、
プロフィール更新時に毎回画面が真っ白になってしまうのを解消したいです。

そこで、以下に変更してみましたが、
今度は「ブログ上の表示名」の設定が自動設定されませんでした。

function user_update_set_display_name( $user_id ) {
  if ( !empty( $_POST['nickname'] ) ) {
    $nickname = $_POST['nickname'];
    update_user_meta( $user_id, 'display_name', $nickname );
  }
}
add_action( 'profile_update', 'user_update_set_display_name', 10, 2 );

プロフィール更新時に「ニックネーム」を「ブログ上の表示名」に
自動設定する方法をご教示いただけると幸いです。

よろしくお願い申し上げます。