メールアドレスが登録できない

こんにちは

WordPress 以外の方法ではメールを送信できているのでしょうか？

AWS をお使いとのことだったと思いますが、サーバーはEC2かと思います。
EC2 はデフォルトでは （WordPressデフォルトの）sendmail を使ってメールを送信することはできません。
メール送信の解除申請をするか、SMTP を使ってください。