リストボックスで選択した文字列をwp_optionsテーブルに格納するためにはどうすれば良いでしょうか？

こんにちは

とりあえず、下記のようにすることで保存はできるようになると思います。
なお、register_setting の第2引数は、オプションの名前になるので、WordPress 本体やテーマ、プラグインと被らないような名前にしておいたほうがいいと思います。

express.php:

function register_paypalsettings() {
	register_setting( 'paypal-settings-group', 'client' );
	register_setting( 'paypal-settings-group', 'sandbox' );
	register_setting( 'paypal-settings-group', 'production' );
}

↓

function register_paypalsettings() {
	register_setting( 'paypal-settings-group', 'client' );
	register_setting( 'paypal-settings-group', 'env' );
}

express_admmin.php:

	(省略)
	<select name="env" size="1">
		<option value="sandbox">sandbox</option>
		<option value="production">production</option>
	</select>
	(省略)
</form>
<?php submit_button(); ?>

↓

	(省略)
	<select name="env" size="1">
		<option value="sandbox" <?php selected( get_option( 'env' ), 'sandbox' ); ?>>sandbox</option>
		<option value="production" <?php selected( get_option( 'env' ), 'production' ); ?>>production</option>
	</select>
	(省略)
	<?php submit_button(); ?>
</form>

submit_button() の位置に注意してください。