詳しい環境・状況がわからないので、あくまで一例として。難しい作業を伴わない方法を採るならこのやり方しかないかな、と思う手順をご紹介いたします。
まずはバックアップを取って保管しておきます。
別のドメイン(初期ドメインなど)に WordPress をインストール。 テーマ・プラグインなどすべて現行と同じものをインストールして用意します。(作業完了まで noindex にしておくのがよいかなと思います)
※ このタイミングで、使用をやめるべきプラグインなども精査する必要があるかなと思います。何年も更新されていないプラグインや公式ディレクトリから削除されているプラグインなど。また、お使いのテーマについても同様です。
現行サイトに施されているカスタマイズを用意した環境に反映させていきます。
現行サイトから投稿・固定ページ・コンタクトフォームなどをエクスポートし、用意した環境にインポート。(記事の手直しが必要になる可能性があります)
ここまでで、新しい環境の同じ WordPress サイトが用意できました。
もとのドメインからいったん WordPress をアンインストールし、再度 WordPress をインストール。
All-in-One WP Migration and Backup など(データの大きさによっては有料版が必要になる可能性があります)を利用し、用意した WordPress をインポートします。
サーバーに「簡単移行」のような機能があれば、それをお使いになるのもよいです(が、一部のURLが書き換えられず残ってしまう可能性があるため入念なチェックが必要)。
最後に noindex を外すのを忘れないように。
また、用意した別ドメインの WordPress は、データベースと併せて削除しておいてください。
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難しい作業を(なるべく)伴わない方法をご紹介いたしました。
難しそうだなと少しでもお感じになるポイントがあるようでしたら、有償でプロにお任せになるのがおすすめです。