個別記事のサイドバーに親カテゴリと属する全ての小カテゴリを表示

個別記事のサイドバーに記事の属する親カテゴリとそれに属する全ての小カテゴリを表示したいと思っています。
フォーラムの過去記事を参考に下記のコードを作成しましたが、うまく表示されません。どこがまずいのか、正しいコードをご教示いただけないでしょうか。

<?php if ( is_single() ) : ?>
<?php
$cats = get_the_terms( $post, 'category' );
$ids  = wp_list_pluck( $cats, 'term_id' );
foreach( $cats as $cat ) {
  if( ! $cat->parent ) {
    $url = get_term_link( $cat );
    echo "<a href=\"$url\"><b>{$cat->name}</b></a><br>";
    $children = get_terms( 'category', array(
      'child_of'   => $cat->term_id,
      'hide_empty' => true,
    ) );
    foreach ( $children as $child ) {
      $url = get_term_link( $child );
      if ( in_array( $child->term_id, $ids ) ) {
        echo "<a href=\"$url\">_<b>{$child->name}</b></a><br>";
      } else {
        echo "<a href=\"$url\">_{$child->name}</a><br>";
      }
    }
  }
}
?>
<?php endif; ?>