全記事を表示させた上で、さらに特定カテゴリの記事を表示

上記セクションの冒頭に
<?php $myquery = $wp_query; ?>

最後に
<?php $wp_query = $myquery; ?>

と入れてみるとどうでしょう？
通常のクエリを$myqueryに一旦退避させて、特定カテゴリ記事の表示後、元に戻す方法です。

ソースを検討していないので、正確ではありませんが、現象から見ると、
ドキュメントには、通常のループとget_posts()とは別クエリーと記述されていますが、
実際には同じクエリーで置き換わってしまいます。
$postsという変数も、システム全体で使われるグローバルのようです。
どうも$postsがくせものなのではと考えました。

そこで、ものは試しと思い、最初のループでは、別の変数名を使い

<?php $posts_new = get_posts('xxxxxx');
foreach( $posts_new as $post ) :
setup_postdata($posts); ?>
 <!--Do something-->
<?php endforeach; ?>

次のループではget_posts()ではなく、通常のループを使用します。

<?php if (have_posts()) : ?>
<?php while (have_posts()) : the_post(); ?>

　．．．．

私のところでは、これでうまく表示できています。
なお、最初のループには一応おまじない（dxd5001さんの書かれたもの）を入れています。

あまり変わりないのですが、一応、これで表示できるというコードを書いてみました。

<!-- クエリを待避しておく -->
<?php $myquery = $wp_query; ?>

<!-- 条件に合わせた投稿を得る -->
<?php $posts_new = get_posts('numberposts=3&category=36');
<!-- 上記で得た投稿の各々について処理する -->
foreach( $posts_new as $post ) :
setup_postdata($post); ?>
  <div class="post" id="post-<?php the_ID(); ?>">
    <div class="entry">
      <h2><a href="<?php the_permalink() ?>" rel="bookmark" title="<?php printf(__('Permanent Link to %s', 'kubrick'), the_title_attribute('echo=0')); ?>"><?php the_title(); ?></a></h2>
      <div class="post-content">
        <?php the_content('Read More ≫'); ?>
      </div>
    </div>
  </div>
<?php endforeach; ?>
<!-- 最初のループ終了 -->

<!-- 待避したクエリを戻す -->
<?php $wp_query = $myquery; ?>

<!-- メインループ -->
<?php if (have_posts()) : ?>
  <?php while (have_posts()) : the_post(); ?>

  <div class="post" id="post-<?php the_ID(); ?>">
    <div class="entry">
      <h2><a href="<?php the_permalink() ?>" rel="bookmark" title="<?php printf(__('Permanent Link to %s', 'kubrick'), the_title_attribute('echo=0')); ?>"><?php the_title(); ?></a></h2>
      <div class="post-content">
        <?php the_content('Read More ≫'); ?>
      </div>
    </div>
  </div>

  <?php endwhile; ?>
  <!-- 前後ページへのリンク -->
  <div class = "navigation">
    <?php posts_nav_link(' | ', '&laquo; 前のページへ', '次のページへ &raquo;'); ?>
  </div>
<?php else : ?>
  <p>お探しの記事は見つかりません</p>
<?php endif; ?>

最初のループ、つまりカテゴリID36の記事を３件表示するループではget_posts()を
使っています。
メインのループ、つまり全記事の表示では、通常のループを使っています。

クエリの待避については誤解されているようですので、ご注意ください。
最初のクエリ（numberposts=3&category=36）を行なう前後に待避、復帰を入れます。

お試しください。

<!--ここに特定カテゴリの記事3件分を表示させたい！-->

の部分に、次のコードを置きます。
（コードのみなので、divやスタイルは、ご自分でお願いしますね）

<!-- クエリを待避しておく -->
<?php $myquery = $wp_query; ?>

<!-- 条件に合わせた投稿を得る -->
<?php $posts_new = get_posts('numberposts=3&category=36');
<!-- 上記で得た投稿の各々について処理する -->
foreach( $posts_new as $post ) :
setup_postdata($post); ?>
  <div class="post" id="post-<?php the_ID(); ?>">
    <div class="entry">
      <h2><a href="<?php the_permalink() ?>" rel="bookmark" title="Permanent Link to <?php the_title(); ?>"><?php the_title(); ?></a></h2>
      <div class="post-content">
        <?php the_content('Read More ≫'); ?>
      </div>
    </div>
  </div>
<?php endforeach; ?>
<!-- 最初のループ終了 -->

なお、メインループの中の次の部分が間違っています。
（その前の投稿からですが）
<h2>" rel="bookmark" title="Permanent Link to <?php the_title(); ?>"><?php the_title(); ?></h2>

ここは、最初のループでも使っていますが、構造を整理して表示すると、

<h2>
  <a href = "<?php the_permalink() ?>" rel = "bookmark" title = "Permanent Link to <?php the_title(); ?>">
    <?php the_title(); ?>
  </a>
</h2>

となっているはずです。
どちらかからコピーされる際、最初のthe_permalink の部分が抜け落ちて、
" rel =
のように残ってしまっているように見えます。

当方で試してありますので、
上記のようにして、パースエラーが出るのなら、エラーはindex.php ではなく、
ヘッダなど他の部分にエラーがあると考えられます。

お試しください。