こんにちは。
私の意見ですが、この場合は手動でバックアップするのが一番良い（安全）だと思います。
その理由として、プラグインを新規にインストールするのは大なり小なりリスクはあります。
更新できていない状態でさらに、プログラム（プラグイン）を追加するわけですから。
そのような場合には、バックアップと復元する手順が確率している手段を用いるべきだと思いますが、そもそもバックアップ用のプラグインが用意されていない状況でしたら、手動（FTPソフトでファイルをダウンロードする & データベースからダンプする）が確実だと思います。
それ以外に、お使いのサーバーで、WordPressのバックアップやレプリケーションの機能があれば、そちらを用いるという選択肢もあると思います。
他の方からもアドバイスあるかもしれませんので、お待ちください。
wordpress3.2以降であれば、UpdraftPlus: WP Backup & Migration Pluginが使えます。他の環境要因で相性が悪い可能性はあるので、絶対とは言いませんが。
バックアップの方法については、主に次の3つの手段があります。
- ホスティングサーバー提供のバックアップ機能
- プラグインによるバックアップ
- 手動バックアップ（FTPやSSHでファイルをダウンロードし、データベースをダンプ）
今回のように「WordPressのバージョンが古くてプラグインが動作しない」場合は、
手動バックアップ または ホスティングサーバー側のバックアップ機能 が現実的な選択肢になります。
多くのホスティングサービスでは、管理画面から簡単にバックアップ／復元できる仕組みを提供しています。
そのため、まずはご利用中のサーバーのサポート窓口に確認するのが安心です。
もしサーバー側に機能がない場合でも、手動バックアップは「WordPressのフォルダを丸ごとダウンロード＋データベースのエクスポート」で完了します。
どちらの方法もそれほど難しくないので、状況に合わせて選択すると良いと思います。
