投稿のアイキャッチについて

imugemさん、こんにちは。

まず１については、カテゴリー別にサムネイル（アイキャッチ）を設定するには、カテゴリーに画像の設定が必要になります。
デフォルトのWordPressでは設定できないので、プラグイン等が必要になりますが、いろいろありそうです。
例えば以下のプラグインはカテゴリーに画像を設定しておいて、投稿を作成時に投稿のアイキャッチ画像として設定を行うことが可能なようです。
Category Featured Image
ホームに数件の投稿を表示する際、投稿のアイキャッチ画像であれば表示できるブロックもあると思いますが、カテゴリーに設定された画像を表示させるには何らかの工夫（子テーマでhome.phpを作成とか、ブロックを独自に作るとか…）が必要かと思われます。

次に２については、お使いのテーマによって仕様が異なると思われます。テーマの設定でアイキャッチ画像を表示しない設定が可能な物であればすぐに可能でしょう。

ご参考になれば。