投稿ユーザーごとの記事に背景画像を変えたい

the_author_ID() はループ内における現在の投稿の投稿者の ID を echo するだけですので、当然そのような結果になりますね。

the_author_ID() を直接クラス名の一部として使えば、わざわざ分岐させる必要はありません。
以下のように直接 div の class 属性に埋め込めば、 author ごとに個別の class 属性のついた div 要素になります。

<div class="post author-<?php the_author_ID(); ?>"></div>

このテンプレートの出力結果は、たとえばユーザー ID が 2 のユーザーの投稿の場合は

<div class="post author-2"></div>

となり、ユーザー ID が 5 のユーザーの投稿の場合は

<div class="post author-5"></div>

となります。このボックスの背景画像や、子孫要素のスタイルを変えるだけならこれで十分です。

/* style.css */
.post { background: #fff none center center repeat scroll; }
.author-1 { background-image: url(bg/author-1.png); }
.author-2 { background-image: url(bg/author-2.png); }
.author-3 { background-image: url(bg/author-3.png); }
.author-4 { background-image: url(bg/author-4.png); }
.author-5 { background-image: url(bg/author-5.png); }

一方、class 属性だけではなく、 HTML の生成内容そのものを分けたい場合は分岐させる必要がありますが、その場合は値を echo しないで return する get_the_author_ID() が使えます。

<?php if ( get_the_author_ID() == 2 ) : ?>
<div class="post tarou">
    <h2>太郎: <?php the_title(); ?></h2>
    <div class="textBody">
<?php the_content( '続きを読む...' ); ?>
    </div>
</div>
<?php elseif ( get_the_author_ID() == 5 ) : ?>
<div class="post hanako">
    <h2>花子: <?php the_title(); ?></h2>
    <div class="textBody">
<?php the_content( '続く&heart;' ); ?>
    </div>
<?php if ( $kibun = get_post_meta( $post->ID, '今の気分', true ) ) : ?>
    <dl class="meta">
        <dt>今の気分</dt>
        <dd><?php echo $kibun; ?></dd>
    </dl>
<?php endif; ?>
</div>
<?php else: ?>
<div class="post">
    <h2>その他: <?php the_title(); ?></h2>
    <div class="excerpt">
<?php the_excerpt(); ?>
    </div>
</div>
<?php endif; ?>

ktarrow さんの試されたコードでは if ( the_author_ID('1') ) などとされていますが、 the_author_ID() や get_the_author_ID() に値を渡しても意味はないので注意してください。
get_the_author_ID() は true や false ではなく、ループ内における現在の投稿の投稿者の ID を返しますので、分岐の際は、 if ( get_the_author_ID() == 1 ) というように get_the_author_ID() が返す値と数値を比較する必要があります。