投稿時にアフィリエイトタグがクリックされます

記事中にURLが含まれている場合、ピンバックを試みますので、そのせいじゃないでしょうか。
ディスカッション設定から この投稿に含まれるすべてのリンクへの通知を試みる をオフにしてみてください

これ以上は、アフィリエイトURLがどんなものか分からないとなんとも…。
URLだけですか？画像が含まれていたりします？

「ビジュアルリッチエディターを使用しない」設定をオンにしたうえで、他のサイトのアフィリエイトのバナーのソースを新規投稿に貼りつけて公開し、公開された投稿を確認していない状態で、アフィリエイトのクリックはカウントされますか？
つまり、バナーを表示しただけでカウントがまわるのか、WordPressの側に原因があるのかの切り分けです。