文字が真ん中に来ない

テキストの縦方向の位置合わせが適切に行われていないようです。

vertical-align: middle; はインライン要素やテーブルセルに対してのみ有効であり、ブロック要素には効果がありません。

以下の CSS ではどうでしょうか。

ul.umuke {
  list-style: none;
  margin: 0 auto;
  padding: 0px;
  width: 100%;
  color: #ffffff;
  position: relative;
}

ul.umuke li {
  background: #03006b; /*背景色*/
  color: #ffffff;
  margin-bottom: 3px; /*下のバーとの余白*/
  border-bottom: solid 1px #dadada; /*下に灰色線*/
  list-style-type: none !important; /*ポチ消す*/
  text-align: left;
  padding: 20px; /*全体にパディングを追加*/
  display: flex;
  align-items: center; /*縦方向の中央揃え*/
  line-height: 1.0em;
}

該当箇所のコードが分かれば、お答えできるかもしれません。

（最初の状態（見た目）を覚えておらず･･･すみません。）

コードのご共有をお待ちしているところでございます。

スマホで拝見したところ、もともと画像の上部がボタンの下に隠れてしまっていますね。

リストと画像の領域をそれぞれ div タグでくくり、マージンで調整するとよいのではないでしょうか。

ひとまず解決したとのことで、よかったです＾＾

パソコン表示がおそらく意図されたとおりに表示されていないのではないかと思います。
よろしければ、以下のコードをお試しください。

<style>
ul.umuke {
  list-style: none;
  margin: 0 auto;
  padding: 0;
  width: 100%;
  color: #ffffff;
  position: relative;
}

ul.umuke li {
  background: #03006b; /*背景色*/
  color: #ffffff;
  margin-bottom: 3px; /*下のバーとの余白*/
  border-bottom: solid 1px #dadada; /*下に灰色線*/
  list-style-type: none !important; /*ポチ消す*/
  text-align: left;
  padding: 15px 20px; /*上下に15px, 左右に20pxのパディング*/
  display: flex;
  align-items: center; /*縦方向の中央揃え*/
  line-height: 1.0em;
}

ul.umuke li a {
  color: #ffffff; /*リンクの色を白に*/
  text-decoration: none; /*リンクの下線を消す*/
}

ul.umuke li a:hover {
  text-decoration: underline; /*ホバー時に下線を表示*/
}

.section {
  margin-bottom: 20px; /*セクション間の余白*/
}

img {
  display: block;
  max-width: 100%;
  height: auto;
}
</style>

<div class="section">
  <ul class="umuke">
    <li class="lmuke1">&nbsp;&nbsp;&nbsp;研修コース</li>
    <li class="lmuke2"><a href="https://nihonjinji.jp/index.php/kangomuke/">&lt;&nbsp;訪問介護サービス事業向け</a></li>
    <li class="lmuke3"><a href="https://nihonjinji.jp/index.php/eventmuke/">&lt;&nbsp;イベントプロデュース企業向け</a></li>
    <li class="lmuke4"><a href="https://nihonjinji.jp/index.php/servicemuke/">&lt;&nbsp;サービス事業向け&nbsp;&nbsp;&nbsp;</a></li>
  </ul>
</div>

<div class="section">
  <img src="https://nihonjinji.jp/wp-content/themes/sample/images/kensyu_service.jpg" alt="" border="0" />
  <img src="https://nihonjinji.jp/wp-content/themes/sample/images/space.gif" width="700" height="50" alt="" border="0" />
</div>