施設一覧をカスタムフィールドとカテゴリでソートできるようにしたい。

似たようなことをやったことあります。
カスタムフィールドでもできますが、カスタム分類（タクソノミー）でやったほうが、階層化（グルメの下にグルメジャンル）とか楽な気がします。アーカイブページ生成されますし。
ちょっと今モバイルからさらっと確認してる程度なので、とりあえず手前味噌で恐縮ですが、自分がやったときの記事紹介します。コメント欄で紹介してる記事も参考になると思います。
http://mypacecreator.net/blog/archives/1807

カスタムタクソノミーってこういうときのためにあると思うので、複数の記事を束ねる用途であればカスタムフィールドより適していると思います。

私の記事で紹介した方法で、キーワード検索無しの「カテゴリ×カスタム分類」の絞り込みできますよ。

以前、まさに「エリア(area)」×「カテゴリ」で絞り込む実装をやったことあります。
そのときはこんな感じでやりました。

<form action="<?php echo home_url(); ?>" method="get">
エリアを選択:
<select name="area">
<option value="">すべてのエリア</option>
<?php
  $terms = get_terms('area', array(
       //ここにお好きなパラメータ
    'hide_empty' => 0
));
  foreach ($terms as $term):
?>
    <option value="<?php echo esc_attr($term->slug); ?>"><?php echo esc_html($term->name); ?></option>
<?php endforeach; ?>
</select>
カテゴリを選択：
<?php wp_dropdown_categories( array(
       //ここにお好きなパラメータ
    'show_option_all' => 'すべてのカテゴリ'
)); ?>
<input type="submit" value="この内容で検索！" />
</form>

divとかclass適当に付けてきれいにスタイリングしてください！

というか、そもそもリアルタイムで変化させたいならラジオボタンはふさわしくないと思います。（利用者への配慮という意味でです。普通ラジオボタン選択時にリアルタイムで画面が切り替わることを想定している人は少ないのではないでしょうか。）
押したら画面が変わることを期待されてるのは普通のリンクテキストやボタンじゃないでしょうか。それか、ドロップダウン(select要素)でもよいのでは。