条件分岐のため子カテゴリーの有無を判別させたい

get_term_children でデータがなければ、WP_Error を返すとあります。
ので、
if($term_children)
ではダメでしょうか。

あるいは
if ($term_children->count == 0 && is_wp_error($term_children))
あたりかなぁとか思います。

確かに、根本的に $term_id と　$taxonomy_name　に意図したデータが入っているかのチェックが先ですね。

var_dump($term_id);
var_dump($taxonomy_name);

などして、意図したデータが入っているか確認してみるとよいと思います。
お示しのソースコードだけでは、それらの変数に値が入っていないので動作しませんしね。
最低でも

$cats = get_the_category();
$cat = $cats[0];
if($cat){
    $term_id = $cat->term_id;
    $taxonomy_name = $cat->taxonomy;
    $term_children = get_term_children($term_id, $taxonomy_name);
    if($term_children){ // 子カテゴリーが１つ以上あるとき
HTMLが入ります
    }else{ // 子カテゴリーがないとき
HTMLが入ります
    }
}

あたりのコードはいるんじゃないかな〜とは思いますね。

うまくいってなによりでした。
ちなみにやっていることは、
1. 現在ページのカテゴリーを取得
2. 取得したカテゴリーの最初の１つを取り出す
3. 取り出したカテゴリーに子カテゴリがあるかドウかチェック

です。のでページにカテゴリーが複数設定されていて、そのうち１つでも子カテゴリーがあるなら〜という条件分岐であるなら、
$cat = $cats[0]; とせずに

$cats = get_the_category();

$cat_child_flag = false;
if($cats){
  foreach($cats as $cat){
    if($cat){
      $term_id = $cat->term_id;
      $taxonomy_name = $cat->taxonomy;
      $term_children = get_term_children($term_id, $taxonomy_name);
      if($term_children){
         $cat_child_flag = true;
         break;
      }
    }
  }

  if($cat_child_flag){ // いずれかのカテゴリーに、子カテゴリーがある場合
     HTMLが入ります 
  }else{ // すべてのカテゴリーに子カテゴリーがないとき
     HTMLが入ります
  }
}

のような感じになると思います。