検索する時に、子カテゴリーで絞り込みをしたい

調べていたら、同じような質問がいくつか見つけられたのですが、
解決済みではなかったので、こちらで改めて質問させてください。

要望としましては、
検索をするときに、子カテゴリーで絞り込みを行いたい
というものです。

wp_dropdown_categoriesを使うことで、
カテゴリーの絞り込みは出来るのですが、
全てのカテゴリーが表示されてしまいます。
そこで、引数に
「’depth=1&hierarchical=true&show_option_all=全てのカテゴリー’」
と設定することで、
親カテゴリーだけが表示されるように出来ました。
ただし、このようにすると、子カテゴリーが表示されません。

そこで、調べてみるとchild_ofというものを使うと
子カテゴリーが表示できるみたいですが、
具体的にどのようにすればよいのかがわかりませんでした。

目指すものとしては、
最初に<?php wp_dropdown_categories(‘depth=1&hierarchical=true&show_option_all=全てのカテゴリー’) ?>
で親カテゴリーを選択した上で、
選択した親カテゴリーに属する子カテゴリーをドロップダウンで選択することが出来る
というようにしたいです。

ぜひ、上記のような子カテゴリーでの絞り込みを実現したいので、
なにか情報がありましたら、ぜひお願いしたいです。
よろしくお願い致します。