こんにちは
walker_nav_menu_start_el のコールバック関数の第4引数 $args (wp_nav_menu() の引数) の中に theme_location (テーマで使われる位置) があるので、これで判定するのはどうでしょうか。
例:
function description_in_nav_menu($item_output, $item){
↓
function description_in_nav_menu( $item_output, $item, $depth, $args ) {
if ( 'メニューの位置のスラッグ' !== $args->theme_location ) return $item_output;
ishitakaさま、ありがとうございます!
回答いただいたコードで実現できました。
分かりやすく説明もありがとうございました。大変助かりました。