特定のパソコンから、ログインID・パスワードを入力する画面が表示され

そのパソコンだけアクセスを禁止するような、そういう設定が行なわれている可能性があります。例えば特定のIPアドレスだけ禁止するなどです。
ここで限定はできないので、WordPressの設定（セキュリティ関連のプラグインなど）や、レンタルサーバーの設定（.htaccessなど）を、確かめてみてください。