特定の親カテゴリに属する子カテゴリ一覧を、指定したカステムフィール

front-page.phpとcategory.phpにおいて、特定の親カテゴリ（3,4,5）に属する子カテゴリ一覧を子カテゴリに指定したカスタムフィールド画像（フィールド名：category_image）と一緒にそれぞれ表示したいです。
category.phpでは、どのカテゴリーにおいても固定（共通）部分として使用したいです。
子カテゴリ名、子カテゴリの説明を取得することはできましたが、カスタムフィールド画像の表示がうまくできず、代替画像のnothumb.pngが表示されます。
使用しているプラグインはAdvanced Custom Field、取得するのはIDにしています。
下記コードは、親カテゴリのIDが3の場合になります。

＜イメージ＞
親カテゴリ名
-◯ 子カテ名
　　子カテ説明
-◯ 子カテ名
　　子カテ説明
-◯ 子カテ名
　　子カテ説明

◯がカスタムフィールド画像。
　　

<div class="catpanel01">
		<h2 class="ttl01"><?php echo get_cat_name('3'); ?></h2>
		<div class="articlelist01-wrap">
			<div class="inner">
			<?php
			$categories = get_terms( 'category', array(
			'orderby'    => 'count',
 			'hide_empty' => 0,
			'child_of' => 3,
			) );
			?>
			<?php foreach($categories as $value): ?>
				<div class="articlelist01-item">
					<div class="left">
						<a href="<?php echo get_category_link($value->term_id); ?>">
						<?php
						$post_id = 'category_'.$value->term_id;
						$image = get_field('category_image',$post_id);
						$alt = $image['alt'];
						$size = 'thumb120';
						$thumb = $image['sizes'][ $size ];
						if( !empty($image) ): ?>
						<img src="<?php echo $thumb; ?>" alt="<?php echo $alt; ?>">
						<?php else: ?>
						<img src="images/notthumb.png" alt="no thumb" />
						<?php endif; ?>
						</a>
					</div>
					<div class="right">
						<h3><a href="<?php echo get_category_link($value->term_id); ?>"><?php echo $value->name;?></a></h3>
						<p><a href="<?php echo get_category_link($value->term_id); ?>"><?php echo category_description($value->term_id); ?></a></p>
					</div><!-- /.right -->
				</div>
			<?php endforeach; ?>
			</div><!-- /.inner -->
		</div><!-- /.articlelist01-wrap -->
	</div><!-- /.catpanel -->

わかりづらくてすいませんが、ご教授のほどよろしくお願いいたします。