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解決しました

先ほど頂いたCustom Bulk Actionという記事から派生したプラグインが提供されており、まずはそちらをインストールしました。

https://ja.wordpress.org/plugins/custom-bulk-actions/

使い方はこちらにあります
https://github.com/Seravo/wp-custom-bulk-actions/

functions.phpに以下を記載しました。

//一括ダウンロードスクリプト
$bulk_actions = new Seravo_Custom_Bulk_Action(array('post_type' => 'ポストタイプを記入'));

//ACTION
$bulk_actions->register_bulk_action(array(
    'menu_text'=>'一括ダウンロード',
    'admin_notice'=>'ダウンロードが完了しました',
    'callback' => function($post_ids) {

        // Zipクラスロード
        $zip = new ZipArchive();
        // Zipファイル名→downloads_年月日.zip
        $zipFileName = 'downloads_'. date("Ymd") . '.zip';
        // Zipファイル一時保存ディレクトリ
        $zipTmpDir = '/tmp/';

        // Zipファイルオープン
        $result = $zip->open($zipTmpDir.$zipFileName, ZIPARCHIVE::CREATE | ZIPARCHIVE::OVERWRITE);
        if ($result !== true) {
        }

        // ここでDB等から画像イメージ配列を取ってくる
                $docPATHarray = array();
        foreach ($post_ids as $post_id) {
                $docURL = get_post_meta($post_id,'docURL',true);
        // 添付ファイルのURLをfile_urlというカスタムフィールドに保存してありますので、URLをファイルパスに変換しています
                $docPATH = str_replace("http://your.domain","/var/www/html/your.domain",$docURL);
                $filename = basename($docPATH);
                $zip->addFromString($filename,file_get_contents($filepath));
        }

        // 処理制限時間を外す
        set_time_limit(0);

        $zip->close();

        // ストリームに出力
        header('Content-Type: application/zip; name="' . $zipFileName . '"');
        header('Content-Disposition: attachment; filename="' . $zipFileName . '"');
        header('Content-Length: '.filesize($zipTmpDir.$zipFileName));
        echo file_get_contents($zipTmpDir.$zipFileName);

        // 一時ファイルを削除しておく
        unlink($zipTmpDir.$zipFileName);
        exit("終了");

}));

//Finally init actions
$bulk_actions->init();
//一括ダウンロードスクリプトここまで

無事に添付ファイルの一括ダウンロードが出来ました。
アドバイスいただいたmocomocoさんありがとうございました！