複数のカテゴリをそれぞれ任意の場所に表示させたい

functions.php に以下を追加して

function my_categories(){
  $cats = get_the_category();
  foreach((array)$cats as $cat)
    if($cat->category_parent != 0)
      echo '<img class="cat-' . $cat->cat_ID
	. '" src="' . get_bloginfo('template_url')
	. '/images/' . $cat->category_nicename
	. '.jpg" alt="' . $cat->cat_name . '" />';
}

記事一覧ページのループ内で
<?php my_categories() ?>
とすれば OK です。画像のパスは適宜変更してください。

好きな場所に表示させたい

各 img タグにクラスが指定してあるので css で位置を指定します。
例）※ img の親要素は position:relative;
.cat-1{
position:absolute;
left:100px;
top:100px;
}

色はココとココ、レイアウトはココ

辺りを具体的に明示していただくとアドバイスし易いです。

親カテゴリ単位で div でまとめた中に、子カテゴリを img 列挙で良いなら以下。

function my_categories(){
  $cats = get_the_category();
  $group = array();
  foreach((array)$cats as $cat)
    if($cat->category_parent != 0)
      $group[$cat->category_parent]
        .= '<img src="' . get_bloginfo('template_url')
	.  '/images/' . $cat->category_nicename
	.  '.jpg" alt="' . $cat->cat_name . '" />';
  foreach($group as $parent_id => $output)
    echo '<div class="cat-' . $parent_id . '">' . $output . '</div>';
}

配置は CSS でお好みに。

子カテゴリの一部は画像ではなく、テキストで表示

書かれている通りに、
　テキストで表示したい子カテゴリの場合は
　img タグでなくて
　テキスト（span タグとか）で出力
すればOKです。

一部抜粋（未検証）
テキスト表示する子カテゴリを指定する場合：

$totext = array(3, 4); // テキスト表示する子カテゴリ達
    if($cat->category_parent != 0){
      if(in_array($cat->cat_ID, $totext))
        $group[$cat->category_parent]
          .= '<span>' . $cat->cat_name . '</span>';
      else
        $group[$cat->category_parent]
          .= '<img src="' . get_bloginfo('template_url')
	  .  '/images/' . $cat->category_nicename
	  .  '.jpg" alt="' . $cat->cat_name . '" />';
    }

親カテゴリ達でテキスト表示／イメージ表示を判断できるなら
$totext に当該親カテゴリ達を入れて
in_array($cat->category_parent, $totext) 。

始めの foreach で実行する内容が 2文に増えたので
その範囲を指定してあげれば OK です。

function my_categories(){
  $cats = get_the_category();
  $group = array();
  foreach((array)$cats as $cat){ // begin
    $totext = array(55, 61, 75); // テキスト表示する子カテゴリの親達
    if($cat->category_parent != 0){
      if(in_array($cat->category_parent, $totext))
        $group[$cat->category_parent]
          .= '<span>' . $cat->cat_name . '</span>';
      else
        $group[$cat->category_parent]
          .= '<img src="/img/search/c_' . $cat->category_nicename
          .  '.gif" alt="' . $cat->cat_name . '" />';
    }
  } // end
  foreach($group as $parent_id => $output)
    echo '<div class="cat-' . $parent_id . '">' . $output . '</div>';
}