記事のみ取得されたいということでしょうか？
もしそうであれば、WordPress REST API (Version 2) — WordPress Plugins : https://wordpress.org/plugins/rest-api/でWordPressサイトをAPI化すれば良いかなと思います。
拡張子が.htmlでもphpとして実行できるようにし、wp-load.phpを読み込むと、ご希望のこのが実現できると思います。
この方法ですと、テーマ内のphpのようにwp_head()、get_posts()などの関数を使うことが出来ます。
「拡張子.htmlでもphpとして実行できるように」する方法は利用されているWebサーバーやその設定に依存しますので、検索するかサーバー会社にご確認ください。
この方法のデメリットは全ての.htmlをphpとして処理するため、本当に静的なhtmlであってもパフォーマンスが（多分体感できないぐらいほんのわずかですが）低下します。
wp_head()、get_posts()などの使い方が分からなければリファレンスなどを参照いただくか、別途ご質問ください。
回答ありがとうございます。
当方が説明下手及び解釈の違いの為、お手数をかけますが、
get_postsなどで記事を取得した場合はURLは変更されるのでしょうか？
参考サイトでは記事のカテゴリなどをクリックした場合URLが変更されます。
もしかしてなのですが、参考サイトのベースとなるテーマなどがあるのでしょうか？
当方が行いたいレイアウトとしましては、各ページのヘッダー・フッター・右側のメニューは前ページ統一して、ブログの記事ページのみヘッダーの下に記事の内容（左側）各カテゴリーなど（中央）メニュー（右側）に配置しフッターとしたいと考えています。
まず、記事のURLが変更される、という意味が理解しかねるのですが・・・
正常に記事のURLに遷移している様子ですが、それ指してURLが変更される、とおっしゃっているのでしょうか？
そういう意味でしたら、URLは変更されます。
また、参考サイトはWordPressではなくMovable TypeというCMSを使って構築されています。
方式が全く異なりますので、同じことを実現したい場合にWordPressでは無理が生じる場合があります。
拡張子がhtmlの静的ページに記事などを表示する、というご質問の内容がそれにあたります。
参考サイトで使われているMovable Typeは記事を登録して再構築という作業を行うと、サイト全てが静的ページとして出力されます。
当然ながら、記事やカテゴリ、その他一覧へのリンクなども静的ページ内に出力されます。
参考サイトと全く同じに実現したいのであればMovable Typeを使うことをお勧めします。
WordPressにもこちらのような静的ページを出力するプラグインなどもいくつかあるようですが、私は使ったことがないので、どれが良い、などのアドバイスはして差し上げられません。
いろいろとご回答ありがとうございます。
「まず、記事のURLが変更される、という意味が理解しかねるのですが・・・」ですが、
参考サイトでは各記事ページごとにアドレスバーのURLも変わるので、そのようにするのは可能なのか教えていただければと思っていました。
ただ、参考サイトはMTを利用して構築しているということですので、根本的に当方の考え方が違ったのがわかり助かりました。
一度、MTで試してみようと思います。
回答いただきました方々、ありがとうございました。
