ピンタレストに問い合わせたところ、アイキャッチ画像はホストされている方法上こういう仕様になっているとのことでした。
そこでfunction.phpに下のコードを入れるとアイキャッチ画像もピンできるようになりました。
add_theme_support( 'post-thumbnails' );
個別にピンしたくないアイキャッチ画像にはどういう設定が必要になるか、お分かりの方おられましたらアドバイスお願いいたします。
書き忘れにつき補足。
このサイトより（https://hirashimatakumi.com/blog/1384.html）
以下のコードもヘッダーに入れました。
<?php if ( has_post_thumbnail()):?>
<?php
$thumbnail_id = get_post_thumbnail_id($post->ID);
$image = wp_get_attachment_image_src( $thumbnail_id, 'full' );
?>
<a data-pin-do="buttonPin" data-pin-count="above" data-pin-custom="true" data-pin-save="false" href="https://www.pinterest.com/pin/create/button/?url=<?php the_permalink(); ?>&media=<?php echo $image[0]; ?>&description=<?php echo get_the_title(); ?>"> </a>
<?php endif; ?>
