カスタム投稿について

earth11さん、こんにちは。

テーマのfunction.phpの部分を編集するのですが、それを編集した場合、WordPressバージョンアップした場合やテーマの更新後に影響はありますか？

公式テーマディレクトリからダウンロードして適用しているテーマ（いわゆる親テーマ）の functions.php を編集してしまうと、該当のテーマファイルアップデート時に追加した記述が削除されてしまいます。
回避方法は子テーマを作成して functions.php を子テーマ内で新規に作成し編集する方法です。

カスタム投稿で投稿したものはテーマを変更する際に消えてしまう可能性はありますか？

テーマ、もしくは子テーマで作成した functions.php ファイルが適用されなくなると記述そのものがなくなってしまうので、カスタム投稿の入力用の画面がメニューから消えてしまいます。また、テーマにカスタム投稿用の表示用ファイルを用意していた場合、それらの表示もなくなってしまいます。

上記どちらの場合も、データベース上の投稿されたデータそのものがなくなってしまう訳ではありませんので、カスタム投稿用の記述を復活させればデータとしては元にもどります。
あまり複雑なことを検討されていないのであれば、軽めのプラグインを採用されるか、もしくは通常 functions.php に記述するカスタム投稿の記述を、独自のプラグインとして実装する方法もありかと思います。

ご参考になれば。