カテゴリーで分岐したはずの画像がトップに表示されてしまうのです

フッターに記述しているということはループ外で使用しているのでしょうか？
トップページでは特に指定をしていない場合はpostの投稿データが読み込まれます。
そのためpostの最新記事のカテゴリー（もしくは事前にループを使っていた場合最後のカテゴリー）が表示されると思います。
footer.phpにそのような記述をした場合はindex.phpだけではなく、archive.phpやpage.phpでも不具合が出そうなのでis_single等でシングルページのみ表示するようにした方がいいと思います。

<div id="footerBt" class="clearfix">
<?php if(is_single()):?>
	<?php if (in_category( 'cate01' ) ): ?>
	  <p class="cate01Top"><a href="<?php bloginfo( 'url' ); ?>/cate01"><img src="<?php echo get_template_directory_uri(); ?>/img/footer_bt_cate01.png" alt="カテゴリー01トップへ"></a></p>
	<?php elseif ( in_category( 'cate02' ) ): ?>
	  <p class="cate02Top"><a href="<?php bloginfo( 'url' ); ?>/cate02"><img src="<?php echo get_template_directory_uri(); ?>/img/footer_bt_cate02.png" alt="カテゴリー02のトップへ"></a></p>
	<?php endif; ?>
<?php endif;?>
</div>

でシングルページ以外表示されなくなると思います。