コメント時のメール通知内容を変更したい

こんにちは

comment_notification_text フィルターフックを使用するのはどうでしょうか。コメントの通知メールのメール本文を書換えることができます。

サンプルコードを書いてみました。

function my_comment_notification_text( $notify_message ) {

	// 投稿者の IP アドレスおよびドメインを削除
	$notify_message = preg_replace( '/(投稿者: .*) \(.*\)/u', '$1', $notify_message, 1 );

	// メールアドレスを削除
	$notify_message = preg_replace( '/メール: .*\n/u', '', $notify_message, 1 );

	return $notify_message;
}

// コメントの通知メール
add_filter( 'comment_notification_text', 'my_comment_notification_text' );

// コメントのモデレートメール
//add_filter( 'comment_moderation_text', 'my_comment_notification_text' );

WordPress 5.7.2で検証してみました。結果、コメントの通知メールが送信されること、内容も変更されていることを確認しました。
なぜメールが届かないのかは、ちょっと分かりません。すみません。m(__)m

functions.php 追記場所の指定などございますか？

特にありません。先頭の <?php の直後などでもいいかと思います。

kaigooujiさん、こんにちは。

functions.phpに 追記したところ
メールが届かなくなりました。

とのことなので、転記ミスか何らかのエラーが発生していると考えられます。
WordPressのエラー表示をONにして確認するか、サーバーのエラーログを見てエラーが発生していないか確認をしてみてください。

ご参考になれば。