スマホを縦にしたときにヘッダーの写真がはみ出る。

こんにちは。
スマートフォンでも横であれば問題ないということは、メディアクエリーの設定の問題ではと思います。（CSSの問題）

img {
max-width: 100%;
height: auto;
}

を記入されたということですが、それは適切なサイズ部分に書き込まれていますでしょうか？

よろしければ320pxまでの幅の場合に適応される下記コードをStyle.cssの一番下に書き込んで試してみてください。

@media screen and (max-width: 320px) {
img {
max-width: 100%;
height: auto;
}
}

これでもダメな場合、CSSでimgより強いIDもしくはclassでスライド部分の画像サイズが制御されていることが考えられます。
CSSで何がその部分に効いているかは、ブラウザのデベロッパーツールなどを使うことにより検証することができます。

こんにちは。
それであれば、先にも書きましたが、スライドの画像に対してimgよりも優先順位の高いCSSが書かれている可能性があります。
CSSの問題なのでWordPressからは離れてしまうのですが、そちらは確認されてますでしょうか？
http://www.stylish-style.com/csstec/base/order.html

スライドの画像にどんなスタイルシートが適用されているかは、GoogleCromeの場合はデベロッパーツール、Firefoxの場合はFirebugというアドオンを使うことによって調べることができます。