スマートフォンでトップページの変更が一切反映されない

まずは、『問題解決のためのチェックリスト』を試してみてはいかがでしょうか。

https://ja.wordpress.org/support/topic/%E5%95%8F%E9%A1%8C%E8%A7%A3%E6%B1%BA%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E3%83%81%E3%82%A7%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88-%E3%83%89%E3%83%A9%E3%83%95%E3%83%88%E7%89%88/

以下に抜粋を記載します。

トラブルシューティングの基本

すべてのプラグインを無効化し、同時にテーマをデフォルトのテーマに戻して再度試してみましょう。それで正常に動くなら一つずつ元に戻してみて、どれが問題を引き起こしているか絞り込むことができるはずです。
キャッシュが問題に関係している場合があります。ブラウザのキャッシュを削除して再度試してみてください。また、WordPress のキャッシュプラグインを使用している場合はそれを停止し、キャッシュファイルをクリアして試してみましょう。
ログインしている場合とログインしていない場合で現象に違いが出るでしょうか。また、使用するブラウザを変えてみてはどうでしょうか。ブラウザに保存されている Cookie が関係している場合もあるので、それをクリアして再度試してみてください