トラックバックの表示について

分割表示は出来ます。
Trackping Separatorと言うプラグインを使って
以下のタグを使えば2つに分けることが出来ます。
<a href="<?php comments_link(); ?>" title="Comment" class="commentlink"><?php comments_number('コメント (0)', 'コメント (1)', 'コメント (%)'); ?></a> / <a href="<?php the_permalink() ?>#trackbacks" title="Trackback" class="trackbacklink">トラックバック (<?php echo trackpings('count'); ?>)</a>

コメントとトラックバックの表示の分割は以下のページを参照してください。
http://kan2.jp/2007/05/06/wp-comments-php/

サイドバーでの分割表示は以下のページを参照してください。
http://kan2.jp/2007/05/06/commented-entry-list/

トラックバックでメールが来た件に関しては
内容を読んでみないことにはなんとも言えないです。

実際に掲載しましたか認証してくださいか
ブログの設定によって異なるためです。

該当記事にトラックバックが掲載されていなかったら
認証してくださいと言うことになります。

lilyfanさんも書かれている通り
WordPressではコメントとトラックバックの区別がありません。
管理画面もコメントの管理で全て管理します。

ごめんなさい
他人のソースを分析するのは今ちょっと時間が取れないので
自分のところのcomments.phpを記載します。
それで自分なりに勉強されてみてはいかがでしょうか？

大変無責任な回答になってしまって申し訳ないのですが・・・
ソースを読んで勉強するのも大事なことなので！！

<p><?php _e('TrackBack <abbr title="Universal Resource Locator">URL</abbr>'); ?> <br /> <?php trackback_url() ?></p>
<?php if ( !empty($post->post_password) && $_COOKIE['wp-postpass_' . COOKIEHASH] != $post->post_password) : ?>
<p><?php _e('Enter your password to view comments.'); ?></p>
<?php return; endif; ?>

<h2 id="comments">トラックバック
<hr>
<?php listtrackpings('trackback'); ?>
<?php if ( comments_open() ) : ?>
	<a href="#postcomment" title="<?php _e("Leave a comment"); ?>">&raquo;</a>
<?php endif; ?>
</h2>

<? // Begin Comments & Trackbacks ?>
<?php if ( $comments ) : ?>

<? // Begin Trackbacks ?>
<?php foreach ($comments as $comment) : ?>
	<? if ($comment->comment_type == "trackback" || $comment->comment_type == "pingback" || ereg("<pingback />", $comment->comment_content) || ereg("<trackback />", $comment->comment_content)) { ?>

	<? if (!$runonce) { $runonce = true; ?>
	<h2 id="trackbacks">トラックバック & ピンバック</h2>
	<ol id="trackbacklist">
	<? } ?>

	<li id="comment-<?php comment_ID() ?>">
	<?php comment_text() ?>
	<p> <pre><?php listtrackpings('', '<li id="trackback-%id"><a href="%url">%origin</a>(%date)<br />%content</li>'); ?></pre> <?php edit_comment_link(__("Edit This"), ' |'); ?></p>
	</li>

	<? } ?>
<?php endforeach; ?>
<? if ($runonce) { ?>
</ol>
<? } ?>
<? // End Trackbacks ?>

<br />

<? // Begin Comments ?>
<h2 id="comments">コメント</h2>
<ol id="commentlist">
<?php foreach ($comments as $comment) : ?>
	<? if ($comment->comment_type != "trackback" && $comment->comment_type != "pingback" && !ereg("<pingback />", $comment->comment_content) && !ereg("<trackback />", $comment->comment_content)) { ?>

		<li id="comment-<?php comment_ID() ?>">
		<?php comment_text() ?>
		<p><cite><?php comment_type(__('Comment'), __('Trackback'), __('Pingback')); ?> <?php _e('by'); ?> <?php comment_author_link() ?> — <?php comment_date() ?> @ <a href="#comment-<?php comment_ID() ?>"><?php comment_time() ?></a></cite> <?php edit_comment_link(__("Edit This"), ' |'); ?></p>
		</li>

	<? } ?>
<?php endforeach; ?>
</ol>
<? // End Comments ?>

<?php else : // If there are no comments yet ?>
	<p><?php _e('No comments yet.'); ?></p>
<?php endif; ?>

<p><?php comments_rss_link(__('<abbr title="Really Simple Syndication">RSS</abbr> feed for comments on this post.')); ?>
<?php if ( pings_open() ) : ?>
	<a href="<?php trackback_url() ?>" rel="trackback"><?php _e('TrackBack <abbr title="Uniform Resource Identifier">URI</abbr>'); ?></a>
<?php endif; ?>
</p>

<?php if ( comments_open() ) : ?>
<h2 id="postcomment"><?php _e('Leave a comment'); ?></h2>

<p><?php _e("Line and paragraph breaks automatic, e-mail address never displayed, <acronym title=\"Hypertext Markup Language\">HTML</acronym> allowed:"); ?> <code><?php echo allowed_tags(); ?></code></p>

<form action="<?php echo get_settings('siteurl'); ?>/wp-comments-post.php" method="post" id="commentform">

	<p>
	  <input type="text" name="author" id="author" class="textarea" value="<?php echo $comment_author; ?>" size="28" tabindex="1" />
	   <label for="author"><?php _e('Name'); ?></label> <?php if ($req) _e('(required)'); ?>
	<input type="hidden" name="comment_post_ID" value="<?php echo $post->ID; ?>" />
	<input type="hidden" name="redirect_to" value="<?php echo wp_specialchars($_SERVER['REQUEST_URI']); ?>" />
	</p>

	<p>
	  <input type="text" name="email" id="email" value="<?php echo $comment_author_email; ?>" size="28" tabindex="2" />
	   <label for="email"><?php _e('E-mail'); ?></label> <?php if ($req) _e('(required)'); ?>
	</p>

	<p>
	  <input type="text" name="url" id="url" value="<?php echo $comment_author_url; ?>" size="28" tabindex="3" />
	   <label for="url"><?php _e('<acronym title="Uniform Resource Identifier">URI</acronym>'); ?></label>
	</p>

	<p>
	  <label for="comment"><?php _e('Your Comment'); ?></label>
	<br />
	  <textarea name="comment" id="comment" cols="60" rows="4" tabindex="4"></textarea>
	</p>

	<p>
	  <input name="submit" id="submit" type="submit" tabindex="5" value="<?php _e('Say It!'); ?>" />
	</p>

	<?php do_action('comment_form', $post->ID); ?>
</form>

<?php else : // Comments are closed ?>
<p><?php _e('Sorry, the comment form is closed at this time.'); ?></p>
<?php endif; ?>