ヘッダーのメニューSEARCHを日本語にしたい

こんにちは

対象のフィールドはテーマが表示しているものと思われます。
ご使用のテーマ（または、表示を確認できるサイトの URL）をご提示されると回答を得やすいと思います。

テーマのファイル（テンプレートファイル）を変更するか、対象の文字列が翻訳テキストなので翻訳を変更することになると思います。

翻訳テキストを編集する方法もいろいろありますが、gettext フィルターフックを使用する方法はどうでしょうか。

例:
子テーマの functions.php に、

function my_gettext_graphy( $translated, $text, $domain ) {
	if ( 'shopstar' === $domain ) {
		$texts = array (
			'Search' => '検索',
			'Search...' => '検索 ...',
			'Sign In | Register' => 'サインイン | 登録',
		);
		if ( isset( $texts[$text] ) ) {
			$translated = $texts[$text];
		}
	}
	return $translated;
}
add_filter( 'gettext', 'my_gettext_graphy', 10, 3 );

Loco Translate プラグインを使用するのもいいかもしれません。
翻訳テキスト (ソーステキストと翻訳テキスト) を簡単に変更することができます。

「検索」などの文字は、実際に表示する文字に変更してください。あとは、そのままで翻訳されると思います。ただしコードはサンプルです。理解した上でコピペではなくご自身で記述してください。

なお、コードはプラグインと同様の処理を行うものなので、プラグインで翻訳されないとなると、コードのほうでも翻訳されないかもしれません。その場合はちょっと分かりかねます。