ループ内で、親と子カテゴリーを選択したとき、親カテゴリーのみ表示したい

the_category() で表示されるカテゴリは the_category_list フィルターで変更することができます。
今回の場合、ある子カテゴリとともに親カテゴリにも属しているならその子カテゴリを除外する、というふうにすれば実現できます。
そこで、親カテゴリと言わず、祖先カテゴリ（親の親……etc.）すべてにわたって判別できるコードを書いてみました。
これは functions.php に追記してください。

function my_category_list( $categories, $post_id ) {
    $cats = $categories;
    // カテゴリを一つずつ処理
    foreach ( $categories as $key => $category ) {
        $ancestor = $category;
        // カテゴリの祖先を一つずつ辿る
        while ( ! empty( $ancestor->parent ) && $ancestor = get_category( $ancestor->parent ) ) {
            // 祖先カテゴリが記事に含まれれば
            if ( in_array( $ancestor, $categories, true ) ) {
                // 元のカテゴリを除外
                unset( $cats[ $key ] );
                break;
            }
        }
    }
    return $cats;
}
add_filter( 'the_category_list', 'my_category_list', 10, 2 );

なおテストはしていないのでご参考までに。

すみません、 in_array() のカテゴリオブジェクトに対する挙動が思っていたのと違ったようです。
今度はちょっとこちらでテストして大丈夫だったので、いかがでしょうか。

function my_category_list( $categories, $post_id ) {
    $cats = $categories;
    // IDだけにする
    $cats_ID = array_map( function ( $cat ) {
        return $cat->term_id;
    }, $cats );
    // カテゴリを一つずつ処理
    foreach ( $categories as $key => $category ) {
        $ancestor = $category;
        // カテゴリの祖先を一つずつ辿る
        while ( ! empty( $ancestor->parent ) && $ancestor = get_category( $ancestor->parent ) ) {
            // 祖先カテゴリが記事に含まれれば
            if ( in_array( $ancestor->term_id, $cats_ID, true ) ) {
                // 元のカテゴリを除外
                unset( $cats[ $key ] );
                break;
            }
        }
    }
    return $cats;
}
add_filter( 'the_category_list', 'my_category_list', 10, 2 );

親カテゴリのみに限定したうえで、そのうちの一つだけを表示する、ということでよろしいですか？
その場合、上でお示ししたコードの下から3行目、

    return $cats;

を

    return array( reset( $cats ) );

に変えていただくといいかと思います。