WordPress5.2以降の動作要件はPHP 5.6.20以上となっていますから、まずはPHPのバージョンアップが可能かどうか確認してください。もし現在のテーマにおいて、PHP5.6.20以降で廃止されて機能が使用されている場合は個別に対応が必要です。ちなみにデータベースについては、MySQLであれば現状で5.0.15 以上かと思います。
WordPress本体のバージョンアップに関しては、テーマファイルをカスタマイズしたものが子テーマなのか否か、またカスタマイズの場所がコアファイルにも及んでいるか否か等によって、バージョンアップが影響を及ぼす範囲も異なります。
もしカスタマイズが子テーマのみであれば、親テーマやWordPress本体をバージョンアップしても影響のない場合が多いでしょう。（そもそも影響のないようにカスタマイズするべきです。）
子テーマを使わずに元のテーマを直接書き換えている場合は、書き換えた部分を子テーマとして修正することをお勧めします。その場合は当然ファイル単位での修正が必要になります。
いずれにしてもご自身でのバージョンアップに不安があれば、WordPressに詳しい業者などへ依頼するのも一つの方法かと思います。
phpのバージョンアップは可能です。
しかしながら、以下のバージョンで移行元のサイト情報をインポートした時点で
エラーになってしまいます。
（all-in-One WP Migrationというプラグインを使用してインポートしています）
・wordpress:4.7.19
・php5.3.3
テーマ自体の更新がないためおそらく子テーマかと思われます
all-in-One WP Migrationでエクスポートする際に、いずれかの制限に引っかかってはいないでしょうか。
- ファイル名に日本語が含まれていると移行できない
- 無料版の場合は512MBまでのファイルしかインポートできない
ありがとうございます。
エクスポートした際のサイズは21MBでしたので制限はクリアしております。
ちなみに、エクスポート前に移行元のwp,phpバージョンを合わせるために移行先のバージョンを一度ダウングレードしましたがそれが影響しているのでしょうか？
インポートも無事に完了したのですが、どういうわけかcssやjpgファイルがごっそり抜け落ちているようです。
（ちなみに、管理メニューのメディアに上がっている画像データ等は問題なさそうです。それ以外のFTPサーバに直接あげている画像ファイルなどが見つからない状況です）
FTPで直接アップロードしたファイルについては、（WordPressの管理下にないので）手動で移動する必要があります。
ありがとうございます。
確認しましたが、そのようなプラグインは使っていなさそうでした。
また、public_htmlディレクトリ配下にcommonディレクトリを作成し、そこに移行元で使っている画像ファイルおよびcssを配置したら見えるようになりました。
もしかしてこれらの情報はwp-migrationで取得できるデータの範囲外ということでしょうか？
もしかしてこれらの情報はwp-migrationで取得できるデータの範囲外ということでしょうか？
そうです。WordPressに直接関連していないデータは取得できません。
ちなみにFTPでアップロードしたファイルをメディアライブラリに登録するプラグインもあります。
Media from FTP
https://ja.wordpress.org/plugins/media-from-ftp/
ありがとうございます。
であれば納得いきました。
基本的にテーマファイルのデータでサイトが構成されていると思っていたため、
完全に盲点でした。
>ちなみにFTPでアップロードしたファイルをメディアライブラリに登録するプラグインもあります。
Media from FTP
ありがとうございます。
今後エックスサーバ→さくらへとサーバを移動するため使用するかもしれません。
ひとまずこれで解決できたと思います。
（まだエラーメッセージが出ているので別途サポートに投げるかもしれませんが。。）
大変ありがとうございました！
Media from FTP の作者です。
WordPress 間のメディアライブラリの引越しは、Media from FTP の後継の、Moving Media Library を利用した方が楽です。
https://ja.wordpress.org/plugins/moving-media-library/
Katsushi Kawamori 様
ありがとうございます！
別のサーバにデータを移す際に活用させて頂きます。
