文字だけのメニュー横にSNSのアイコンを設置する方法

Menu Imageでもこういったことは可能ですか？

実際に試してみればわかりますよね。私は使ったことがありませんが、たぶん試してみると思います。ダメならプラグインを停止・削除すれば元どおりですし。

他のプラグインやその他の方法

アイデアだけですが例えば…

• メニューにFacebook用とInstagram用のメニュー項目を普通に文字列で配置して、WordPressのフィルターフックを使って表示のときにメニュー文字列をアイコンに置き換える。
• テーマのテンプレートの中にグローバルメニューを表示するphpコードがある筈なので、コードを変更（追加）して右隣にアイコンを表示。

Menu Imageでもこういったことは可能ですか？

試してみました。4.2.1 でも支障なく利用できました。
これまでは CSSで画像に置き換える方法を使ってきましたが、複数のアイコンサイズを用意しないでもいいのでスピーディに整いました。
http://wp.me/p5DESR-as

ブログの方でも触れましたが、Title position で Hide を選ぶと、文字だけをけしてアイコン画像だけになりました。

災害、お見舞い申し上げます。

言葉だけで直接応援も出来ませんが、アドバイスで役立ててもらうことが出来れば一生懸命お手伝いします。
ともかく復旧をあせらずに落ち着いてご対応ください。

こちらも近くの火山が警戒レベルの日々がずっと続いていて微振動があり、ハードディスクが２基続けて壊れるという状況です。

極力、知りうること出来うることがあれば、一緒に考えていきましょう。

変な文字列というのが、エラーメッセージでしょう。
具体的なことがわからないので、修正がどのようなことかわかりませんが、それが、別ウィンドウで開くということを制約している可能せもありますね。
リンクの表示では、別ウィンドウで開くとなるのでWordPress自体は、その挙動をしているのだと推測できます。

なので使用中のテーマに問題があるかと考えてます。

そのテーマ Shore は公式ディレクトリのものではないので、WordPressのテーマ作成の条件を無視している可能性もありますね。

「メニューの li 要素」はブラウザの『要素の詳細を表示』を使って、どのファイルに記載されているか探してください。有償テーマなのでフォーラムでは控えさせてください。

ただ、子テーマを作ってスタイルシートを追加すれば、メニューの li 要素の指定は調整できるでしょう。