管理画面でのカスタム投稿の記事一覧について

カスタムフィールドのカラムに「編集｜クイック編集｜ゴミ箱｜表示」を表示するようにするより、タイトルをそのフィールドの値に書き換えたほうが早そうですね。

add_action( 'load-edit.php', 'load_edit_shop' );
function load_edit_shop() {
	if ( get_current_screen()->post_type === 'shop' ) {
		add_filter( 'the_title', 'the_shop_name', 10, 2 );
	}
}
function the_shop_name( $title, $id ) {
	if ( ! $title = get_post_meta( $id, 'shop_name', true ) ) {
		$title = 'No Shop Name';
	}
	return $title;
}

上記はカスタム投稿タイプ名を shop、カスタムフィールド名を shop_name としています。

また、カラムのタイトルを変えたい場合は下記で。

add_filter( 'manage_shop_posts_columns', 'shop_name_column' );
function shop_name_column( $columns ) {
	$columns['title'] = '店舗名';
	return $columns;
}

Codex / Source file

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なお、上記コードでカスタマイズを施しても、ソートは shop_name でかかってくれません。
後ろ向きな方法 ^～^;) ですが、ソートできないようにするなら下記を追記で。

add_filter( 'manage_edit-shop_sortable_columns', 'unable_sort_shop_name_column' );
function unable_sort_shop_name_column( $sortable_columns ) {
	unset( $sortable_columns['title'] );
	return $sortable_columns;
}

Source file