自作フォームからのカスタムフィールド（タクソノミー）への登録

自分で作成したフォームで入力・選択した値をカスタムフィールドに登録させようとしていますがフィールドタイプがタクソノミーでセレクトボックスの場合が登録出来ません。

カスタムフィールドを登録する際の関数として、「update_post_meta」と「update_field」を使用してみましたがどちらも駄目でした。

下記にコードを記載します。

[update_post_metaの場合]
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add_action('template_redirect',　'insert_data');
function　insert_data() {
 if(is_page('insert_page')) :
  $insert_post_data = $_POST // フォームで入力・選択した値を代入
  $post_data['post_title']   =　'タイトル';
  $post_data['post_status']　=　'publish';
  $post_data['post_type']　  =　'カスタム投稿タイプ';

　$post_id　= wp_insert_post($post_data);

  if(!is_wp_error($post_id)) :
   $acf_id         = 'カスタムフィールドid';
   $get_acf_fields = get_acf_all_fields_in_group($acf_id); // カスタムフィールドを全て取得

　 foreach($get_acf_fields as $key => $value) :
    $acf_name = $value['name']; // カスタムフィールド名を代入
    if(isset($insert_post_data[$acf_name])) : // カスタムフィールドに入力する値があるか判定（セレクトボックスの場合、タームIDが入っている。）
　　　update_post_meta($post_id, $acf_name, $insert_post_data[$acf_name]); // カスタムフィールドを登録
　　endif;
   endforeach;
  endif;

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[update_fieldの場合]
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add_action('template_redirect',　'insert_data');
function　insert_data() {
 if(is_page('insert_page')) :
  $insert_post_data = $_POST // フォームで入力・選択した値を代入
  $post_data['post_title']   =　'タイトル';
  $post_data['post_status']　=　'publish';
  $post_data['post_type']　  =　'カスタム投稿タイプ';

　$post_id　= wp_insert_post($post_data);

  if(!is_wp_error($post_id)) :
   $acf_id         = 'カスタムフィールドid';
   $get_acf_fields = get_acf_all_fields_in_group($acf_id); // カスタムフィールドを全て取得

　 foreach($get_acf_fields as $key => $value) :
    $acf_name = $value['name']; // カスタムフィールド名を代入
    if(isset($insert_post_data[$acf_name])) : // カスタムフィールドに入力する値があるか判定（セレクトボックスの場合、タームIDが入っている。）
　　　$field_key = $get_acf_all_fields[$acf_name]['key'];
      $value     = array($acf_name => $insert_post_data[$acf_name]);
      update_field($field_key, $value, $post_id); // カスタムフィールドを登録
　　endif;
   endforeach;
  endif;

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