3.7.1にアップデード後、ログインできない。

ログインする時に不正アクセスされないようなプラグインを設定してましたか？

サイト「国立・私立医学部専門予備校PMD」は問題はなさそうなので、
プラグインを一時的に向こうにしてみてはどうでしょうか。
スパム・チェックでトラブルが発生しているようなので
そのためのプラグインが特定できれば幸いですが。

FTPでサーバーにアクセスして、プラグインのディレクトリをリネームしてください。

onamaeサーバーをご利用のようですから、
Filemanager で
pamda.info/
wp-content/plugins/
で『名前変更』をしてください。
そして、同じディレクトリの階層に空のディレクトリ「plugins」を作成してサイトにもう一度アクセスしなおしてください。
一応ブラウザのキャッシュはクリアしておくと良いでしょう。

もとのpluginsディレクトリを見れば、使っていたプラグインはわかると思います。
ログイン制限を設定しているプラグインがありませんか。
もし利用していたのなら、アップデートの際に無効化しておかなかったのが事故になったのだと思われます。

追加情報です。

「wp_authenticate_spam_check」で検索すると、公式フォーラムに同じ様なエラーメッセージが出たという「locked out of site for both admins」がありますね。

こちらでは wp-content 以外のディレクトリを上書きするようコメントがありました。

wp-includes/plugin.phpの 199行目にトラブルの原因ヒントが有ると思います。

all in one seo pack、sitemap generator, haadspace2,mata-managerといったプラグインが確認できました。

それらならログインを規制するような動作はしませんね。
セキュリティ系プラグインが壊れているのかと想定してました。

shirakobato さんのアドバイスと同じく、

wp-content 以外のディレクトリを上書きするよう

お勧めします。
3.7.1 にする前がいくつだったか情報不足ですが、
onamaeサーバーにある、わたしが運営している中で不安定なサイトを試しにアップデートしてみましたら、
案の定、不具合を起こしました。
一見、フリーズしているようにみえるのですがメンテナンスに時間がかかる時が起こるようです。
FTPで上書きするのがスムーズです。
一旦バックアップコピーを撮っておいて、上書きしましょう。
ただし、wp-config.phpはそのままに。