補足です。
タイトルに auth_redirect としてしまったのが失敗だったかもしれませんが、どうもログインの判定（ is_user_logged_in() ）が上手く動いてないような気がします。
http：//xxxx.com/wp/wp-login.php にアクセスすると、ログイン画面が表示されますが、こちらは問題なく通って、ダッシュボードが表示されます。
この状態を「ログインしている状態」と判断してくれるのであれば、このままhttp：//xxxx.com/wp/ へアクセスすれば、ログイン画面をスルーしてアクセスできると踏んだのですが、やはりログイン画面が表示され、後は最初に投稿させてもらった内容の通りです。（もちろん、この解釈が正解でなければ意味は無いのですが(^^;）
自己レスです（全部自己レスですが・・）
解決した訳ではないのですが、原因が判明したので、もし万が一にも何かの役に立てばと思いましたので、記述させてもらいます。
繰り返しログイン画面が出てしまう原因ですが、「設定」⇒「一般（一般設定）」の中にある、ブログのアドレス（URL）を設定していた場合に発生するようです。試しに、ブログのアドレス（URL）を消したところ、ログインできました。
私が WordPress に設定していた内容ですが、ブログ用ドメイン hogehoge.com を取得したので
WordPressのアドレス（URL） http：//本来のサーバのURL/~user/wp
ブログのアドレス（URL） http：//hogehoge.com
としていました。そして、WordPressをインストールしたディレクトリの、１つ上の階層（~user直下）にも、ディレクトリ構造に合わせて若干書き換えた index.php を配置することで、http://hogehoge.com へアクセスすれば、ブログが表示できていました。
ただ、ブログのアドレス（URL）を空にする（＝自動的にWordPressのアドレス（URL）で入力しているアドレスと同じになる）と、これまで作ったブログがうまく表示出来なくなってしまいました。
また、認証⇒ブログを表示する流れが、最初にイメージしていたものと違っていました。今回の方法だと、認証⇒一旦、登録ユーザのダッシュボードが表示される⇒画面上部の「サイトの表示」をクリックしてブログに移動する・・・という流れになってしまいました。認証したら、すぐにブログが表示されるものと思っていました。想定していた使い方が出来なかったので、この方法は諦めることにしました。
文章をまとめるのが上手くなくて、スミマセン。しかも、あまり役に立てちそうな情報ではありませんが、今回の顛末を報告させて戴きました。
なるほど。おそらくクッキー回りの問題ですね。ブログ用のドメイン (本当は hogehoge.com なんかじゃないですよね?) と、サーバーのドメインが異なると、クッキーのドメインが変わってしまいます。クッキーは URL ごとに管理されていて、異なるドメインへのクッキーを使わないことになっているので、ログイン状態かどうかの判定ができてなかったのだと思われます。
。認証したら、すぐにブログが表示されるものと思っていました。
本来はそういう動作をするはずです。今回は不正なログインクッキーとみなされたので、ブラウザーのクッキーを送信しないようにして、ログイン画面を出すようになっています。
あと、「ブログ用ドメイン hogehoge.com を取得したので」とありますが、本当は違うドメインなんですよね? 例示用には example.com とか example.jp とかが用意されているので、それを使ってください。
少なくとも hogehoge.com は 1996年に取得されている由緒ある (?) ドメイン名です。
Domain Name: HOGEHOGE.COM
Registrar: GMO INTERNET, INC. DBA ONAMAE.COM AND DISCOUNT-DOMAIN.COM
Whois Server: whois.discount-domain.com
Referral URL: http://www.discount-domain.com
Name Server: NS.NAMEDSERVER.NET
Name Server: NS2.NAMEDSERVER.NET
Status: clientTransferProhibited
Updated Date: 09-mar-2009
Creation Date: 09-mar-1996
Expiration Date: 10-mar-2010
lilyfan さん、お返事ありがとうございました。
まず、誤解を招く表現があったことをお詫びします。
あと、「ブログ用ドメイン hogehoge.com を取得したので」とありますが、本当は違うドメインなんですよね? 例示用には example.com とか example.jp とかが用意されているので、それを使ってください。
仰る通り、あくまでも例示として出したかっただけで、実際に取得したドメインは違います。投稿などに慣れていなくて、何かしらの読み物を読んだ時に、例示として「hogehoge」という表記を使われていたのを思い出し、つい同じようにしてしまいました。以後、気をつけたいと思います。
クッキーの件、解説をありがとうございました。なんとなく、もやもやした中で「まあ、仕方が無いか・・」と諦めていたので、なぜそうなるのかが解ってスッキリしました。
現在、Basic認証で出来るように作業しているのですが、こちらも上手くありません(^^;
その時は、改めてlilyfan さんや皆さんのお知恵を拝借できればと思っておりますので、どうぞ、宜しくお願い致します。
