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テーマのfunctions.phpに次のような記述を追加することでおおむね希望通りになるかと思います。

function custom_rewrite_rules() {
    add_rewrite_rule( '^author/([^/]+)/([0-9]{4})/([0-9]{1,2})/?$',
        'index.php?author_name=$matches[1]&year=$matches[2]&monthnum=$matches[3]',
        'top' );
}
add_action( 'init', 'custom_rewrite_rules' );

なおこのコードだけですとルールが保存されないので、「設定」－「パーマリンク」で
「変更を保存」ボタンを押す必要があります。

add_rewrite_rule関数の詳しい使い方はcodexなどでご確認ください。

URLが https://hoge.jp/author/ユーザー名/2019/05/ の場合はauthor.phpではなく、
archive.phpで対応したいということでしょうか。

テーマ内のテンプレートには優先度があり、arcive.phpよりもauthor.phpが高くなります。

現状どのようなauthor.phpとarchive.phpがどのような内容になっているのかわかりませんが、
author.phpを使用されているのであればauthor.php内で処理を切り分ける方が合理的だと思います。

1.現状のarchive.phpで https://hoge.jp/author/ユーザー名/2019/05/ の際に
コンテンツ部分を出力しているコードをauthor-date.phpに切り出す。
2.現状のauthor.phpのコンテンツ部分を出力しているコードを author-common.php に
切り出す。
3.author.phpのコンテンツ部分出力部分は、次のようなコードで処理を振り分ける。

if ( is_date() ) {
  get_template_part( 'author', 'date' );  // author-date.phpを読み込む
} else {
  get_template_part( 'author', 'common' ); // author-common.phpを読み込む
}