Contact Form 7 送信できない

しかしかなり乱暴な解決法ですね。
すべてをデフォルトに戻せとは。

【重要】 お読みくださいの「問題解決のためのチェックリスト」や「質問ルール」もお読みください。

これらのスレッドやMiyoshiさんのFAQにも書いてありますが、プラグインやテーマでの相性の悪さ（バッティング）の可能性もあるので、トラブルシューティングの基本は全てのプラグインを停止して、デフォルトテーマに戻して再度確認してみることなのです。
これは不具合（とされる物）の原因を突き止める（切り分ける）ためです。
例えばデフォルトテーマに戻した時に動作すれば、お使いのテーマに問題があるかも知れませんし、プラグインを全て無効化したあとひとつずつ有効化していけば、どのプラグインが原因なのかも分かります。

一口にWordPressといっても使う人によってサーバー環境もテーマもプラグインも異なります。
当然、Aさんは問題無いけど、Bさんでは問題が起きるという事もあり得ますので、ご理解ください。

なお、WordPress3.6のインストールに関する情報やトラブルシューティングなどはこちらのスレッドに要約されていますので、あわせてご覧ください。

3.6 アップグレードに伴う問題とその解決方法

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ちなみに、自前でWordPress 3.6 + Contact Form 7 3.5.2 で問題無く動作しています。