ContactForm7 有効化するだけでエラーになる

ファイルの添付などもしているのでしょうか。エラーを見る限りでは、アップロード先に対して書き込み不能のためにエラーになっているように見えます。

failed to open stream: HTTP wrapper does not support writeable connections

これはアップロード先の指定が「http」から始まっていて書き込みできないという意味ですから、パーミッションの変更は直接影響しないと思います。

仮にそうであれば、今までファイル添付は問題なかったのでしょうか？

アップロード先の指定を「/」で始まるパスに直せれば良いと思いますが、プラグインが有効にできないことには設定から直すわけにもいかないですね…

> failed to open stream: HTTP wrapper does not support writeable connections in /wp-content/plugins/contact-form-7/includes/file.php on line 247

の file.php の247行目は
if ( $handle = fopen( $htaccess_file, ‘w’ ) ) {
となってます。
wp-content/uploads/wpcf7_uploads/.htaccess あるいは wp-content/uploads/wpcf7_uploads/あたりの書き込み権限がないとかそういったことはないでしょうか。

Contact Form 7 が生成する .htaccess　であれば、それ自体には問題はないだろうとは思いkます。

https://contactform7.com/ja/file-uploading-and-attachment/
をみると
wp-config.php に
define( ‘WPCF7_UPLOADS_TMP_DIR’, ‘/your/file/path’ );
をいれることでアップロード先を変更できるようです。
もしそうした指定をしているなら、その設定を一時的に削除してどうなるか確認してみるのがよいかなと思います。

またテーマによる問題の可能性もあるので、テーマを一時的にデフォルト（TwentyTwentyとか）にして、Contact Form 7を有効にできるかもチェックしてみると良いと思います。