ひとつ目の「カテゴリの一覧ページには、カスタム投稿の記事が表示されません。」は、下記の過去トピックが同じ内容だと思いますので、ご覧になってください。
[解決済み] アーカイブページで標準の投稿とカスタム投稿を表示させる方法
ふたつ目の「タグに関しては、記事内のタグを表示させる箇所にも表示されません。」は、もう少し詳しく状況を教えてください。カスタム投稿の個別記事を表示したときですか？サイトを実際に見られるとよいですね。
ふたつ目の「タグに関しては、記事内のタグを表示させる箇所にも表示されません。」について、お使いのテーマが、ふつうの投稿（投稿タイプが post）のときだけカテゴリーやタグを表示するように作られているものなのかもしれません。
例えばテーマ Twenty Sixteen はそうなっているので、カスタム投稿にはカテゴリーもタグも表示しません。表示させるには、Twenty Sixteen のテンプレートに含まれる関数 twentysixteen_entry_meta() を子テーマで置き換えて、カスタム投稿も対象にする必要があります。
ご回答ありがとうございます。
教えていただいたトピックのソースを追加してみたところ、カテゴリーが表示されるようにようにはなりましたが、下記のエラーが出てしまいます。
Warning: Cannot modify header information – headers already sent by (output started at /home/●●●/public_html/httpdocs/wp-content/themes/quickstrap/functions.php:613) in /home/●●●/public_html/httpdocs/wp-includes/pluggable.php on line 1171
タグに関しては設定をどう変えればよいのでしょうか？テーマはquickstrapというものを使用しています。
先にカテゴリーのことを済ませましょう。タグは後で。
検証（ソースを追加）してみましたが、エラーは出ず、カスタム投稿とふつうの投稿を一緒に表示できました。
yu-miya さんのところでエラーが出るのは、もしかすると追加したコードの内容に何か問題があるか、または追加先の位置（行）が不適切なのかもしれません。どんなコードを QuickStrap テーマの functions.php のどの位置へ追加したか、再確認してみてください。
おかしな点がなければ、現在の functions.php の内容を pastebin.com サイト（コードを共有するサイト）へ貼り付けて、そのリンクを教えてください。
追記・・・ QuickStrap テーマの functions.php は ?> だけの行で終わっています。この場合、追加するコード(php)は ?> の行の直前に入れます。以下のような感じです。
オリジナル：
// 中略
}
add_action( 'wp_enqueue_scripts', 'quickstrap_scripts' );
?>
追加後：
// 中略
}
add_action( 'wp_enqueue_scripts', 'quickstrap_scripts' );
// ここに追加
?>
どうやら他のエラーがあったようで、修正したところ無事表示されました。タグの問題も解決しました。
お騒がせいたしました。ありがとうございます。
