EWWW Image OptimizerのWebP変換がうまくいかない

レンタルサーバー：xserver X10プラン

EWWW Image Optimizerを使用して、jpgやpngをWebPに変換しようとしています。
設定画面からリライトルールを挿入すると、.htaccessに以下のコードが追記されました。

# BEGIN EWWWIO
# "BEGIN EWWWIO" から "END EWWWIO" までのディレクティブ (行) は
# 動的に生成され、WordPress フィルターによってのみ修正が可能です。
# これらのマーカー間にあるディレクティブへのいかなる変更も上書きされてしまいます。
<IfModule mod_rewrite.c>
RewriteEngine On
RewriteCond %{HTTP_ACCEPT} image/webp
RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} (.*)\.(jpe?g|png|gif)$
RewriteCond %{REQUEST_FILENAME}.webp -f
RewriteCond %{QUERY_STRING} !type=original
RewriteRule (.+)\.(jpe?g|png|gif)$ %{REQUEST_URI}.webp [T=image/webp,L]
</IfModule>
<IfModule mod_headers.c>
<FilesMatch "\.(jpe?g|png|gif)$">
Header append Vary Accept
</FilesMatch>
</IfModule>
AddType image/webp .webp
# END EWWWIO

他のサイトに導入したときはこれでうまくいったのですが、
当該サイトでは、以下のように警告が表示され、うまくいきません。

このサイトには mod_headers が抜けているようです。この Apache モジュールを有効化するよう、ホスティング会社やシステム管理者にご連絡ください。
This may be a false positive. If so, the warning should go away once you implement the rewrite rules.
WebP rules verified, but self-test failed: WebP response received status 401

.htaccessは上記の通り反映されているようなのですが、
なぜ動作しないのかわかりません・・。

どなたかご教授くださいませ。
よろしくお願いいたします。